Рассмотрим графики и свойства тригонометрических функций и обратных им.
Графики тригонометрических функций:

1. Синус - подробнее
2. Косинус - подробнее
3. Тангенс - подробнее
4. Котангенс - подробнее
5. Арксинус - подробнее
6. Арккосинус - подробнее
7. Арктангенс - подробнее
8. Арккотангенс - подробнее

Название производной происходит от слова «произведенная», т.е. образованная от другой величины. Производная характеризует темп изменения функции.
Процесс определения производной какой-либо функции называется дифференцированием. Если говорить совсем просто, то для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Подробнее...

Сложность решения тригонометрических неравенств заключается в том, что углов бесконечное множество. Потеря хотя бы одного угла сводит решение тригонометрического неравенства к неправильному ответу.
Для работы с этими неравенствами, включающими синус и косинус, удобнее всего использовать тригокруг – для визуализации 360°, а остальное бесконечное множество углов записывается с помощью периода.
А при работе с неравенствами, включающими тангенс и котангенс, удобнее использовать графики тригофункций, чтобы наглядно видеть все ограничения этих функций.
Подробнее...

Функциональные методы решения
Некоторые задания с параметром можно решать не совсем стандартным функциональным методом. В его основе лежит использование свойств различных функций.
Свойства функций
1. Область определения – значения x, при которых функция существует.
2. Область значения – значения y, которые может принимать функция.
3. Непрерывность функции.
4. Нули функции – значение x, при котором функция равна 0.
5. Промежутки знакопостоянства – промежутки, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения.
6. Монотонность – возрастание или убывание функции.
7. Ограниченность.
8. Четность/нечетность.
– Четность – симметрия функции относительно оси OY.
– Нечетность – симметрия функции относительно начала координат.
9. Периодичность – повторение значений функции через определенный период (функция состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов).
10. Дифференцируемость.
11. Экстремумы.

Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый следующий член которой отличается от предшествующего члена на одно и то же число dd.

Например, 1, 3, 5, 7…

Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Подробнее...

Множество – это фундаментальное понятие математики, такое же как точка или прямая. Дать ему определение нельзя. Но можно понимать множество как совокупность определенных элементов.

Например, существует множество всех людей на Земле или множество всех существующих самолетов, множество Российских Императоров или множество книг в библиотеках школ России.
Подробнее...

Решение комбинаторных задач заключаются в нахождении различных комбинаций элементов какого-либо множества. Отсюда и название раздела математики – комбинаторика.

От количества задействованных элементов множества и способов их комбинирования зависит подход к решению задачи. Каждый из типов задач имеет свои специальные формулы для расчета комбинаций, но пока для понимания сути расположения элементов множества проще всего использовать различные визуализации.
Подробнее...

Задачи на вклады – это блок экономических задач в реальной математике. Для решения этих задач необходимо понимать суть некоторых экономических операций, которые в свою очередь тесно связаны с формулой сложного процента.
ЧТО ТАКОЕ ВКЛАД:
Суть вклада в том, что человек отдает банку свои деньги на хранение. Это можно делать для разных целей, например, чтобы накопить на что-то. Иногда банк предлагает такой вклад, с которого вы не сможете снять свои же деньги на протяжении заранее оговорённого времени. Так вы точно не потратите ничего лишнего.
Итак, люди кладут деньги в банк, чтобы получить с них проценты, потому что банк платит людям за то, что те доверяют банку и позволяют ему на некоторый период пользоваться этими деньгами. Банк как бы занимает деньги, а потом отдает их с процентами.
При этом существуют некоторые условия начисления процента. Он чаще всего накладывается не на ту сумму, которую вы положили в самом начале, а рассчитывается каждый день, месяц или год на ту сумму, которая фактически лежит на вкладе. То есть если вы доложите на вклад с деньгами еще столько же, то через определенный расчётный период вам начислят процент на бόльшую сумму, а следовательно ваша прибыль со вклада вырастет.
Подробнее...

Задачи на кредиты – наиболее часто встречающиеся экономические задачи. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита одинаковыми и разными платежами. Для решения задач на кредиты нужно понимать, что это такое, как действуют операции с кредитами и как они связаны с формулой сложного процента.
ЧТО ТАКОЕ КРЕДИТ:
Кредит происходит от латинского слова «доверие». Это такая экономическая операция, при которой банк отдает вам на время свои деньги, рассчитывая, что вы вернете их с процентами за то, что имели возможность их использовать. Кредит похож на вклад, только при вкладе банк платит вам за пользование вашими деньгами, а при кредите вы платите банку за пользование его деньгами.
Проценты по кредиту начисляются спустя определенный расчётный период – каждый месяц или год. При этом они почти всегда начисляются на оставшийся долг, то есть если за некоторое время вы успели закрыть часть долга, то в следующий раз, когда будут начисляться проценты, они начислятся на меньшую сумму. То есть обычно чем быстрее вы выплачиваете долг, тем меньше процентов вы заплатите поверх денег, которые занимали.
Существуют различные схемы выплат кредита. Можно выплачивать долг равными платежами, а можно выплачивать процент от оставшегося долга. Так как он уменьшается с каждой выплатой, то каждая новая выплата будет меньше. Тогда долг выплачивается неравными платежами.
Подробнее...

Задачи на оптимизацию – это блок экономических задач, для решения которых нужно найти наиболее выгодные условия для развития какого-либо предприятия.
ЧТО ТАКОЕ ОПТИМИЗАЦИЯ:
Из самого названия блока задач понятно, что нужно найти оптимальное решение. Когда у предпринимателя есть несколько путей развития своего бизнеса, ему нужно заранее просчитать, какой из них будет приносить больше прибыли. Он может выбрать один из них, а может их комбинировать. В таком случае встает вопрос о том, как это делать, с какого варианта начать и когда перейти ко второму.
Конкретных вопросов может быть огромное количество: с какого предприятия нанимать сотрудников, с какого завода закупать детали, как распределить зарплату и так далее. Этими вопросами занимается оптимизация.
Подробнее...

Задачи с экономическими показателями – задания из блока «Экономические задачи», которые встречаются реже всего. От неготовности увидеть такие задачи возникают трудности при их решении. Здесь важно понимать, по каким принципам меняются экономические показатели, чтобы верно составить математическую модель.
ЧТО ТАКОЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ:
Экономические показатели – это собирательный термин для любых чисел, которые описывают экономическое положение чего-либо – уровень безработицы, средняя зарплата по региону, процент роста ВВП и т. д.
Всё, что может описать экономика, имеет свои экономические показатели. Перечислить их все невозможно. При решении экономических задач данного типа нужно руководствоваться бытовой логикой и понимать, как работает рост в процентах – то есть уметь работать со сложным процентом.
Подробнее...

Сечение – планиметрическая фигура, образованная рассечением объемного тела.

Сечение должно образовывать единую фигуру (быть замкнутым). Построение сечения делается по строгим правилам и принципам, которые, в свою очередь, основываются на аксиомы и теоремы стереометрии.
Подробнее...

Двугранный угол – это геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями и прямой между ними.
Подробнее...

Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, у которого одна точка считается началом, а другая — концом. На чертеже его изображают стрелкой, длина которой равна длине вектора (его модулю), а направление показывает стрелка.
Вектор обозначают двумя способами:

• AB — двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой сверху (первая буква — начало, вторая — конец).
• a — одной строчной латинской буквой со стрелкой сверху.

Важный нюанс: порядок букв в названии имеет значение. Вектор AB и BA — это разные векторы: они равны по длине, но направлены в противоположные стороны.
Если начальная и конечная точки вектора совпадают, получается нулевой вектор. Его обозначают как 0. У нулевого вектора нет определённого направления, а его длина равна нулю.

Виды векторов

• Коллинеарные векторы — лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
• Сонаправленные векторы — коллинеарные векторы, которые направлены в одну сторону.
• Противоположно направленные векторы — коллинеарные векторы, которые направлены в противоположные стороны.
• Равные векторы — векторы, которые сонаправлены и их длины равны. Иногда говорят, что это один и тот же вектор, просто отложенный от разных точек.

Операции с векторами
Сложение векторов можно выполнять двумя способами:

• Правило треугольника: от конца первого вектора откладывают второй, и сумма — это вектор, соединяющий начало первого с концом второго.
• Правило параллелограмма: векторы откладывают от одной точки, достраивают параллелограмм, и сумма — это диагональ, исходящая из общей точки.

Вычитание векторов — это сложение с противоположным вектором: a – b = a + (–b).
Умножение вектора на число — при умножении на положительное число вектор сохраняет направление, а его длина умножается на это число. Если число отрицательное — направление меняется на противоположное, а длина умножается на модуль числа. Произведение нулевого вектора на любое число есть нулевой вектор.

Координаты вектора
Если у вектора начало находится в точке A(x₁; y₁), а конец — в точке B(x₂; y₂), то его координаты вычисляются так:
Координаты вектора = (x₂ – x₁; y₂ – y₁).
Например, если вектор начинается в точке A(1; 2) и заканчивается в точке B(4; 6), то его координаты будут (3; 4).

Длина (модуль) вектора находится по формуле:
|a| = √(a₁² + a₂²).
Для вектора с координатами (3; 4) длина будет: √(3² + 4²) = 5.
Применение векторов
Векторы позволяют решать геометрические задачи более компактно и наглядно.
С их помощью можно:

• Доказывать теоремы (например, о свойствах параллелограмма или трапеции).
• Находить длины отрезков, углы между прямыми, площади фигур.
• Описывать физические явления (сила, скорость, ускорение).

Что важно запомнить:

• Вектор — это не просто отрезок, а отрезок с направлением.
• Равные векторы можно переносить параллельно самим себе.
• Коллинеарность векторов можно проверять по пропорциональности их координат.
• Операции с векторами можно выполнять как геометрически (на чертеже), так и с помощью координат.

Практико-ориентированные задания – это первые 5 заданий, оформленные в виде текстовых задач. Текст к заданию является общим для всех пяти номеров. Это задание проверяет внимательность при работе с большим условием и умение применять математику в повседневной жизни. Зачастую вопрос ставится таким образом, что полученный ответ нужно скорректировать в соответствии с реальностью.
Например, нельзя купить 2,5 банки краски и т.п.
Очень часто сдающие не обращают внимания на особенности условия и записывают в ответ прямой результат вычислений и, соответственно, совершают ошибку. Для решения заданий потребуется применить базовые понятия из геометрии, основные формулы, которыми вы еще не раз воспользуетесь и в других заданиях. А также возможно потребуется показать умение находить процент от числа или отношение данных.

НЕОБХОДИМЫЕ УМЕНИЯ
В блоке практико-ориентированных заданий необходимо показать:

• умение работать с простейшими математическими моделями,
• умение работать с большим объемом информации,
• а также навык исследования карт и графиков.

Эти задания требуют базовых знаний алгебры: целые числа, дроби, округление, проценты. А также подразумевается работа с основными понятиями геометрии: площадь простых планиметрических фигур, нахождение линейных размеров, определение расстояния между точками, теорема Пифагора. Для решения последнего задания будет необходимо умение анализа простых математических моделей с выбором оптимального варианта из предложенных.

ТИПЫ ЗАДАНИЙ
В этом задании вам может встретиться ситуация из жизни:

• дана карта дачного участка с информацией о нем,
• карта сельской местности с информацией о деревнях,
• таблица сравнение автомобильных шин или форматов бумаги,
• диаграмма абонентской платы за интернет,

с использованием которых нужно выполнить арифметические действия с применением базовых навыком математики.

ПОЛЕЗНЫЕ СОВЕТЫ
Чтобы справиться с таким заданием на экзамене, нужно внимательно читать условие. Задание является первым на экзамене и считается легким, но не стоит им пренебрегать. Детальное исследование условия на этом этапе поможет при решении следующих четырех заданий. После расчетов стоит проверить ответ на реалистичность.
Например, вам никто не продаст 15,5 упаковок плитки в магазине. Поэтому, чтобы довести ремонт до конца, нужно приобрести 16 упаковок.